数列の極限② 高校の「あいまいな」公式を証明する

こんにちは。masaです。

さて、前回は「数列の極限」の、ホントの定義について少し紹介しました。

今回はこの、ホントの定義を利用して教科書に載っている公式の「あいまいな部分」を説明してみたいと思います。

とはいえ、内容は難しめですので、「なるほど、そのように証明できるのだな」という感覚で読んでいただければと思います。

今回の記事の目的

今回の記事の目的は、次のような「あいまいな」公式の理解を助けることです。

そのように説明されれば、納得するしかなかった「あいまいな」公式の代表例です。

前回の内容のおさらい

さて、前回ご紹介した、「数列の極限」の定義はこちらです。

とはいえ、よくわからないと思います。

「数列の極限」の定義を「数式化」

非常にわかりずらい極限の定義。まずはこの定義を次のように変換してみます。

• 定義を「英語化」する
• 「英語化」された定義を「数式化」する

 では一つずつ見ていきましょう。

定義を「英語化」する

英語化してみます。こうなります。

日本語よりも、ずいぶんスッキリ記述できることがわかります。

「英語化」された定義を「数式化」する

そしてこの英語を、「数式化」するとこうなります。

ここで、それぞれの記号の意味を簡単に説明しておきます。

この記号の意味に慣れておくと、後々の説明が楽になりますので、しばしの辛抱を。

あいまいな公式を定義で証明

 では、公式１を証明してみましょう。

次に、

そして、
 

となります。

 このようにして、「ホントの定義」に従って、あいまいな極限に関する公式を証明することができます。公式２もほぼ同手順で証明することが可能です。

今回の記事のテーマを思いついたのは、高校3年生を教えていてふと出てきた、数列の極限に関する命題の真偽問題がきっかけでした。

「これは、真だけど高校生レベルでは説明できないよな…」というものだったので、これは記事にしないといけない、と思い立ったのです。この辺りは、次回の「数列の極限」についての記事でご紹介します。